4 Modelos de Tempo de Vida Acelerados

Na seção anterior, foram apresentados modelos paramétricos para dados de sobrevivência. Entretanto, esses modelos não contemplam a inclusão de covariáveis na análise do tempo de sobrevivência. Neste capítulo, exploraremos esse método.

No modelo de regressão linear clássico, a relação entre a variável resposta $Y$ e as covariáveis $\mathbf{x^{\intercal}}$ é aditiva, ou seja, mudanças nas covariáveis alteram $Y$ de maneira linear. O modelo de regressão linear clássico é expresso como:

\[ Y = \beta_{0} + \beta_{1} X_{1} + \beta_{2} X_{2} + \ldots + \beta_{p} X_{p} + \varepsilon, \tag{4.1}\]

onde $\varepsilon$ é a parte estocástica (erro) que segue uma distribuição $\text{Normal}(0; \sigma^{2})$.

No entanto, em análise de sobrevivência, essa suposição não se sustenta, pois o efeito das covariáveis geralmente acelera ou retarda o tempo de falha, tornando necessária uma abordagem multiplicativa. Este modelo de regressão é chamado de Modelo de Tempo de Vida Acelerado (Accelerated Failure Time - AFT).

No modelo AFT, assume-se que o tempo de falha $T$ é afetado por um fator de aceleração exponencial das covariáveis. Esse fator multiplicativo indica se o tempo até o evento será prolongado ou encurtado. Assim, o modelo é definido como:

\[ T = \exp\{ \mathbf{x^{\intercal}} \boldsymbol{\beta} \} \varepsilon = \exp\{ \beta_{0} + \beta_{1} X_{1} + \beta_{2} X_{2} \ldots + \beta_{p} X_{p} \} \varepsilon, \tag{4.2}\]

onde $\varepsilon$ é um termo de erro multiplicativo que captura a variabilidade não explicada pelas covariáveis. Aplicando a transformação logarítmica em $T$ obtém-se a forma linearizável da Equação 4.2 que aproxima-se da Equação 4.1, de forma que

\[ \ln[T] = \beta_{0} + \beta_{1} X_{1} + \beta_{2} X_{2} \ldots + \beta_{p} X_{p} + v, \]

onde $v = \ln[\varepsilon]$ segue uma distribuição de valor extremo. Essa escolha para a distribuição dos erros decorre do fato de que os tempos de sobrevivência frequentemente apresentam forte assimetria à direita. Portanto, os erros não podem ser adequadamente representados por uma distribuição normal, sendo mais apropriado assumir distribuições como Log-normal, Weibull ou Exponencial.

Nos modelos AFT, a função de sobrevivência sofre um ajuste devido ao efeito das covariáveis, que podem acelerar ou retardar o tempo de falha. Assim, a função de sobrevivência condicional às covariáveis é expressa como:

\[ S (t | \mathbf{x}) = P (T > t / \exp\{ \mathbf{x^{\intercal}} \boldsymbol{\beta}\}). \tag{4.3}\]

Como o tempo de falha é ajustado pelo fator de aceleração, a função de risco também precisa ser reformulada para incorporar o efeito das covariáveis. A forma geral da função de risco em modelos AFT é dada por:

\[ \lambda(t | \mathbf{x}) = \lambda_{0}(t) g(\mathbf{x}). \tag{4.4}\]

Nesta expressão, $\lambda_{0}(t)$, representa a função de risco basal, isto é, representa o risco no tempo $t$ quando todas as covariáveis são iguais a zero, ou seja, na ausência de efeitos das covariáveis. Já o termo $g(\mathbf{x}) = \exp\{ - \mathbf{x^{\intercal}} \boldsymbol{\beta}\}$ age como um fator de ajuste, mensurando o impacto das covariáveis na taxa de falha.

:::: progress :::: {.progress-bar style="width: 100%;"} :::: :::: # Modelos de Tempo de Vida Acelerados Na seção anterior, foram apresentados modelos paramétricos para dados de sobrevivência. Entretanto, esses modelos não contemplam a inclusão de covariáveis na análise do tempo de sobrevivência. Neste capítulo, exploraremos esse método. No modelo de regressão linear clássico, a relação entre a variável resposta $Y$ e as covariáveis $\mathbf{x^{\intercal}}$ é aditiva, ou seja, mudanças nas covariáveis alteram $Y$ de maneira linear. O modelo de regressão linear clássico é expresso como: $$ Y = \beta_{0} + \beta_{1} X_{1} + \beta_{2} X_{2} + \ldots + \beta_{p} X_{p} + \varepsilon, $$ {#eq-LinearModel} \noindent onde $\varepsilon$ é a parte estocástica (erro) que segue uma distribuição $\text{Normal}(0; \sigma^{2})$. No entanto, em análise de sobrevivência, essa suposição não se sustenta, pois o efeito das covariáveis geralmente acelera ou retarda o tempo de falha, tornando necessária uma abordagem multiplicativa. Este modelo de regressão é chamado de Modelo de *Tempo de Vida Acelerado* (Accelerated Failure Time - AFT). No modelo AFT, assume-se que o tempo de falha $T$ é afetado por um fator de aceleração exponencial das covariáveis. Esse fator multiplicativo indica se o tempo até o evento será prolongado ou encurtado. Assim, o modelo é definido como: $$ T = \exp\{ \mathbf{x^{\intercal}} \boldsymbol{\beta} \} \varepsilon = \exp\{ \beta_{0} + \beta_{1} X_{1} + \beta_{2} X_{2} \ldots + \beta_{p} X_{p} \} \varepsilon, $$ {#eq-RelationAFT} \noindent onde $\varepsilon$ é um termo de erro multiplicativo que captura a variabilidade não explicada pelas covariáveis. Aplicando a transformação logarítmica em $T$ obtém-se a forma linearizável da @eq-RelationAFT que aproxima-se da @eq-LinearModel, de forma que $$ \ln[T] = \beta_{0} + \beta_{1} X_{1} + \beta_{2} X_{2} \ldots + \beta_{p} X_{p} + v, $$ \noindent onde $v = \ln[\varepsilon]$ segue uma distribuição de valor extremo. Essa escolha para a distribuição dos erros decorre do fato de que os tempos de sobrevivência frequentemente apresentam forte assimetria à direita. Portanto, os erros não podem ser adequadamente representados por uma distribuição normal, sendo mais apropriado assumir distribuições como Log-normal, Weibull ou Exponencial. Nos modelos AFT, a função de sobrevivência sofre um ajuste devido ao efeito das covariáveis, que podem acelerar ou retardar o tempo de falha. Assim, a função de sobrevivência condicional às covariáveis é expressa como: $$ S (t | \mathbf{x}) = P (T > t / \exp\{ \mathbf{x^{\intercal}} \boldsymbol{\beta}\}). $$ {#eq-fSobrAFT} Como o tempo de falha é ajustado pelo fator de aceleração, a função de risco também precisa ser reformulada para incorporar o efeito das covariáveis. A forma geral da função de risco em modelos AFT é dada por: $$ \lambda(t | \mathbf{x}) = \lambda_{0}(t) g(\mathbf{x}). $$ {#eq-fhazardAFT} Nesta expressão, $\lambda_{0}(t)$, representa a função de risco basal, isto é, representa o risco no tempo $t$ quando todas as covariáveis são iguais a zero, ou seja, na ausência de efeitos das covariáveis. Já o termo $g(\mathbf{x}) = \exp\{ - \mathbf{x^{\intercal}} \boldsymbol{\beta}\}$ age como um fator de ajuste, mensurando o impacto das covariáveis na taxa de falha. :::: progress :::: {.progress-bar style="width: 100%;"} :::: ::::